LEGGE DEI GRANDI NUMERI, ESEMPI ED EQUIVOCI

Una roulette ed un tavolo verde: anche i giocatori di casinò possono essere tratti in inganno da un'interpretazione errata della "Legge dei grandi numeri"
Una roulette ed un tavolo verde

La nota “Legge dei grandi numeri” spesso viene citata a sproposito, e porta a credere in false relazioni fra gli eventi. Dov’è l’equivoco?


 di Giulio Simeone

Roma, venerdì 11 dicembre 2015


La famosa Legge dei grandi numeri viene invocata piuttosto di frequente nel linguaggio comune: peccato che abbastanza di frequente venga citata a sproposito, instillando nelle persone delle convinzioni sbagliate. Facciamo qualche esempio. “Il Barcellona ha vinto nove partite consecutive, quindi per la legge dei grandi numeri è probabile che questa domenica perda” “Sulla ruota di Venezia da tre anni non esce il 56, quindi lo gioco, per la legge dei grandi numeri ci sono buone probabilità che esca” “Ieri c’è stato un incidente fatale sulla Tangenziale Est, quindi oggi ci posso passare tranquillamente, per la legge dei grandi numeri è quasi impossibile che se ne verifichi un altro”. Tutto sbagliato! Infatti, è abbastanza ovvio che in tutti questi casi, non esiste nessun‘oscura legge compensatrice che spinga gli eventi in una direzione opposta alla direzione nella quale sono andati fino ad adesso. Ad esempio, non c’è alcuna relazione tra le estrazioni passate della ruota di Venezia e la prossima estrazione: ad ogni estrazione tutti i numeri avranno esattamente la stessa probabilità di uscire, indipendentemente da ciò che è successo in passato. Nel caso del Barcellona, semmai, dal fatto che abbia vinto nove partite consecutive si può dedurre che sia una squadra forte e perfettamente attrezzata per vincere anche la decima partita, anche dovesse giocare contro il Real Madrid.

Cos’è la legge dei grandi numeri? L’esempio dei lanci del dado

Ma questa legge dei grandi numeri esiste veramente? Sì, esiste, e in effetti è comprensibile che possa trarre in inganno chi non si intende di matematica e di statistica; talvolta, però, essa riesce a confondere anche chi ha confidenza con tali discipline, vi giuro che ho udito più di un esperto di statistica fare ragionamenti tristemente simili a quelli riportati sopra. La legge dei grandi numeri in realtà sottolinea un concetto abbastanza ovvio, che cercheremo di spiegare nel modo più semplice possibile, ed aiutandoci con un esempio. Supponiamo di ripetere per tantissime volte uno stesso esperimento, come il lancio di un dado: la probabilità che esca 1 è uguale ad 1/6, ovvero al 16,66% circa. Ecco, è abbastanza intuitivo che più volte lanciamo il dado, più la frequenza di uscita del numero 1 si avvicinerà alla probabilità del 16,66%: la legge dei grandi numeri è tutta qui. Dopo 20 lanci, tale frequenza può benissimo essere del 5% come del 25%, dopo 100 lanci è probabile che essa sia compresa tra il 14% e il 20%, dopo 5000 lanci è difficile che essa non sia compresa tra il 16% e il 17%, e poi, più si va avanti, più si andrà vicini alla fatidica quota del 16,66%. Chiaramente, visto che anche la probabilità che escano i numeri 2,3,4,5,6 è sempre del 16,66%, man mano che andiamo avanti a lanciare il dado, le relative frequenze di uscita tenderanno anch’esse ad appiattirsi tutte intorno alla soglia del 16,66%. La figura qui sotto, che riporta le statistiche relative ad un lancio ripetuto di dadi, illustra chiaramente questo fenomeno.

Statistiche relative ad un lancio ripetuto di un dado : vediamo che, mentre dopo 30 lanci le frequenze si discostano parecchio fra di loro, dopo 1000 lanci, a causa della legge dei grandi numeri, si avvicinano tutte all'originaria probabilità del 16,6%
Statistiche relative ad un lancio ripetuto di un dado : vediamo che, mentre dopo 30 lanci le frequenze si discostano parecchio fra di loro, dopo 1000 lanci si avvicinano tutte all’originaria probabilità del 16,6%

La legge dei grandi numeri dice che, per un numero di ripetizioni identiche dello stesso esperimento, che tende all’infinito, la probabilità di un determinato evento tende a coincidere con la sua frequenza. Per non appesantire troppo quest’articolo, tralasciamo di spiegare ai non addetti ai lavori il significato esatto della parola “tende” e del concetto di limite: chi vuole approfondire può trovare una spiegazione abbastanza chiara sul sito youmath.it.

L’equivoco che trae in inganno molte persone

Tornando agli esempi fatti all’inizio, la Legge dei grandi numeri dice forse che un numero ritardatario su una ruota del lotto ha più probabilità di uscire di altri numeri? Assolutamente no: essa dice solo che, analogamente al caso del dado, più estrazioni vengono eseguite, più le frequenze relative ai vari numeri tendono a livellarsi su una stessa percentuale: dopo 10000 estrazioni, è verosimile che le frequenze relative all’ 1, al 2, al 3, al 90 si attestino tutte attorno all’ 1,11%, ovvero a 1/90. L’equivoco nel quale cade molta gente comune, ma anche esperta, è che a lungo andare si va verso il livellamento di tutte le frequenze, sì, ma non è affatto detto che ogni singola estrazione spinga verso tale livellamento; un numero che dopo 500 estrazioni è uscito soltanto 2 volte, e quindi ha frequenza 0,4%, può benissimo continuare a non uscire per altre, poniamo 200 estrazioni, e scendere ancora nella frequenza; solo per un numero molto grande di estrazioni, la percentuale tenderà ad attestarsi attorno all’ 1,11%. Nel caso del Barcellona che vince nove partite consecutive, non solo la decima partita non sarà soggetta ad alcuna legge compensatrice, ma la legge dei grandi numeri, così come è matematicamente formulata, non si può proprio applicare, perchè chiaramente le partite non sono tutte uguali fra loro e non costituiscono una sequenza di prove identiche.

“Non è vero ma ci credo”.

Ecco quindi che da un equivoco logico-matematico nascono delle convinzioni palesemente sbagliate, e pensare che ci sono persone che a causa di queste convinzioni perdono un sacco di tempo e di soldi: si pensi ad esempio a tutte le persone che pensano che esista la formula vincente per sbancare il lotto, il totocalcio, la roulette, vi investono un sacco di soldi e magari spendono anche soldi per chiedere consiglio a fantomatici “esperti”. Ma queste persone sono veramente così ingenue da credere che una ruota del lotto, ad esempio, sia dotata di memoria, e, quando un numero non esce da molto tempo, fa in modo di farlo uscire? Sì, e no, la nostra impressione che in buona parte tale fiducia in questa versione un po’ popolare della “legge dei grandi numeri” abbia la stessa radice di molte superstizioni del tipo “non è vero, ma ci credo”. Tutte le persone che non attraversano la strada dopo che l’ha attraversata un gatto nero, credono veramente che quel povero gatto nero trasmetta degli influssi malefici in grado di rovinare le persone?

Alcune persone, a tutt'oggi, cambiano ancora strada quando vedono passare un gatto nero
Alcune persone, a tutt’oggi, cambiano ancora strada quando vedono passare un gatto nero

Probabilmente, almeno nella maggior parte dei casi, non tanto, ma la strada non l’attraversano perchè “non si sa mai“, perchè “una volta il cognato di un mio amico …” e via dicendo. Similmente, quando un giocatore abituale di lotto sente ad esempio che il 47 – numero che nella cabala corrisponde al “morto che parla” – non esce da 47 settimane, può essere portato a pensare “In realtà non è vero niente, ma io il 47 lo gioco, non si sa mai …“. Spesso, il problema non risiede soltanto nell’interpretazione errata della legge dei grandi numeri, ma, più in generale, nella tendenza dell’uomo ad essere irrazionale.

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Giulio Simeone

Pubblicato da Giulio Simeone

Giulio Simeone is a web journalist based in Rome, Italy. He graduated in Mathematical Sciences in 2002, then he worked several years as a software developer and later, around 2010, began to turn his efforts to journalism. Now he writes for the web magazines www.sociale.it and www.socialplace.it, that are published by the company he works for. He speaks fluent Italian, English, and Spanish, his e-mail address is [email protected]

2 Risposte a “LEGGE DEI GRANDI NUMERI, ESEMPI ED EQUIVOCI”

  1. Gentile Dottore,
    Quanto Lei scrive per dimostrare l’equivoco in cui si cade applicando la legge dei grandi numeri alla teoria dei ritardi, mi pare non tenga conto di un’utile considerazione. Quello che la legge dei grandi numeri (LGN) dice è che
    (media empirica – probabilità) →0
    non dice però che:
    N (media empirica – probabilità) =
    (Numero di risultati osservati – numero di risultati attesi)→0
    Sembra paradossale, ma è così. Sarebbe evidentemente vero se N fosse costante, da cui discenderebbe che i numeri di eventi verificatisi e i numeri di eventi attesi matematicamente dovrebbero eguagliarsi in qualche magico modo e quindi avrebbero ragione i sostenitori delle teorie dei ritardi. I loro oppositori, che hanno ragione, potrebbero solo rifugiarsi nell’affermazione che i numeri devono essere “grandi”, ben al di là del numero di tentativi che un uomo può fare nella sua vita, ma è chiaro che questa spiegazione, corretta ma parziale, è poco convincente per il giocatore audace. Il fatto è che c’è una spiegazione più semplice: le differenze
    N (media empirica – probabilità) = (Numero di risultati osservati – numero di risultati attesi)
    che chiameremo scarti, non tendono affatto a zero per N tendente ad infinito, perché la decrescente differenza fra le medie calcolate ed empiriche viene amplificata moltiplicandola per N, che cresce per definizione, in modo da rendere crescenti anche gli scarti. Quindi non c’è nessuna legge matematica che ci assicura che il numero di Neri sarà MAI eguale al numero di rossi per un grande numero di lanci della roulette.
    Anzi, con dimostrazione non immediata (diciamo che va al di là delle quattro operazioni) o, più semplicemente, con simulazioni, si può dimostrare che le fluttuazioni o scarti aumentano proporzionalmente alla radice quadrata di N. Questo è il siluro principale alla teoria dei ritardi: se dopo N lanci ci troviamo con un numero di risultati avversi superiori alla media, non è affatto detto che dopo altri N lanci si debbano recuperare le perdite. Può succedere, ma non è affatto garantito, perché gli scarti aumentano al crescere di N.
    Questo, pochi lo sanno e immaginano che quanto più alto sia il numero di lanci, tanto minori siano gli scarti, e quindi quanto maggiore è il ritardo, tanto più probabile è che si presenti il risultato ritardatario: no, no, NO.
    La legge dei grandi numeri si occupa delle differenze tra medie osservate e medie attese, non di queste differenze moltiplicate per N. Le prime tendono a zero, le seconde (gli scarti) invece crescono indefinitamente, come la radice quadrata di N.
    Quanto sopra è reperibile all’indirizzo: https://dainoequinoziale.github.io/resources/scienze/matematica/grnumrit.pdf
    Sarei lieto di avere una Sua correzione se Lei ritenesse che quanto scrivo è sbagliato o superfluo.

    1. Gentile sig. Giacomo Cavallo,
      la ringrazio per la gentile mail. Quanto lei afferma è sicuramente vero, cioè non c’è nessuna legge che garantisce, nell’esempio della roulette, che rossi e neri saranno mai in pareggio, e che eventuali sbilanciamenti a favore dell’una o dell’altra parte verranno mai compensati. La ruota non ha memoria, ad ogni estrazione si ricomincia da zero. Per quanto riguarda la parte più tecnica, le dico sinceramente che io sono 15 anni che non mi occupo di matematica, in questo periodo sono molto impegnato con il giornalismo, e probabilmente rispondere alla sua domanda mi richiederebbe del tempo che al momento non ho. Può provare a contattare un qualsiasi esperto del settore, e sicuramente le saprà dare una risposta.

      I miei più cordiali saluti, Giulio Simeone

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