LEY DE LOS GRANDES NÙMEROS, EJEMPLOS Y MALENTENDIDOS

El casino de Peralada, situado en un castillo en la Provincia de Gerona
El casino de Peralada, situado en un castillo en la Provincia de Gerona

La famosa ley de los grandes números es invocada a menudo en el habla cotidiana: sin embargo, frecuentemente es malinterpretada y da lugar a creencias erroneas.


por Giulio Simeone

Roma, lunes 21 diciembre 2015


“El Barcelona ha ganado los últimos nueve partidos, entonces, por la ley de los grandes números, es probable que este domingo vaya a perder” “Estoy jugando a la ruleta, hasta ahora ha dado 200 giros sin que salga el 14, entonces, por la ley de los grandes números, en el próximo giro hay muchas probabilidades que salga” “Ayer ocurrió un accidente en la M-45, entonces puedo ir tranquilo por ella, porque por la ley de los grandes números es muy improbable que pase otro accidente”. Todo esto es incorrecto! De hecho, es bastante obvio que, en todos estos casos, no existe ninguna obscura ley compensadora que empuje a los eventos hacia una dirección opuesta a la dirección hacia la que han ido hasta ahora. Por ejemplo, no hay alguna relación entre los anteriores giros de la ruleta y el próximo giro; en cada giro todos los números tendrán exactamente la misma probabilidad de salir, de manera independiente de los números que han salido hasta ahora. En el caso del Barcelona, si a caso, del hecho de que haya ganado nueve partidos seguidos se puede deducir que es un equipo fuerte y equipado también para ganar al adversario siguiente,incluso si fuera el Real Madrid.

 Cosa es realmente la ley de los grandes números? El ejemplo del dado

Pero esta ley de los grandes números existe verdaderamente? Si, existe, y de hecho se puede comprender que pueda engañar a quien no es experto en matemática y estadística; algunas veces, pero, logra confundir también quien tiene confianza con estos subjectos: juro que he oído más de un experto de estadística hacer razonamientos tristemente similares a los mencionados anteriormente. La ley de los grandes números de verdad subraya un concepto bastante obvio, que intentaremos explicar de la manera más simple posible. Suponemos repetir por muchas veces un mismo experimento, como el lanzamiento de un dado: la probabilidad que salga 1 es igual a 1/6, osea a cerca del 16,66%. Es bastante intuitivo que más veces lanzamos el dado, más la frecuencia de salida del número 1 se acercará a la probabilidad del 16,66%; la ley de los grandes números está toda aquí. Después de 20 lanzamientos, esta frecuencia puede ser tanto del 5% como del 25%, después de 100 lanzamientos es probable que sea comprendida entre el 14% y el 20%, después de 5000 lanzamientos es difícil que esa no sea comprendida entre el 16% y el 17% y luego, cuanto más se avanza, tanto más esa se acercará a la fatídica cuota del 16,6%. Claro, ya que la probabilidad que salgan los números 2,3,4,5,6 es siempre igual al 16,6%, también las relativas frecuencias de salida tenderán a aplanarse todas cerca del 16,6% a medida que se avanza con los lanzamientos del dado. Este fenómeno esta claramente ilustrado en el esquema debajo, que muestra las estadísticas relativas a un lanzamiento repetido de dados.
Estadisticas dado
Estadísticas relativas a un lanzamiento de dados: a medida que se avanza, las frecuencias de salida de los 6 números se acercan siempre más a la cuota del 16,6%.

La ley de los grandes números dice que, por un número de repeticiones identicas del mismo experimento, que tiende al infinito, la probabilidad de un determinado evento “tiende” a coincidir con su frecuencia. Para no lastrar este articulo de manera excesiva, dejamos de explicar a los no profesionales el exacto sentido que aquí tiene la palabra “tiende”: quien quiere aprender más puede encontrar una explicación bastante clara en el sitío estadisticas3.blogspot.it.

El malentendido que engaña a muchas personas

Volviendo a los ejemplos mencionados al inicio, la ley de los grandes números dice por casualidad que un número atrasado a la ruleta tiene más probabilidad de salir que otros números? Absolutamente no: solo dice que, análogamente al caso del dado, cuantas más extraciones son ejecutadas, tanto más las frequencias relativas a los varios números tienden a nivelarse cerca de un mismo porcentaje. Después de 10000 extracciones, es probable que las frequencias relativas al 1, al 2, al 3, al 36 se estabilicen todas alrededor del 2,78%, ovvero de 1/36. El malentendido que engaña a muchas personas inexpertas, y también algunas personas expertas, es que a largo plazo se va hacía la nivelación de todas las frecuencias, si, pero no siempre cada singula extracción empuja hacía esta nivelación; un número que después de 500 extracciones  ha salido solo 5 veces, y entonces tiene frequencia 0,4%, puede muy bien seguir sin salir por otras, decimos, 200 extracciónes, y descender aun más en su frequencia; solo por un número muy grande de extracciones, el porcentaje tenderá a nivelarse alrededor del 1,11%. En el caso del Barcellona que gana nueve partidos seguidos, no solo el diezmo partido no será sujeto a ninguna ley compensadora, sino la ley de los grandes números, así como está matematicamente formulada, no se puede en absoluto aplicar, porque claramente los partidos no son todos iguales entre ellos, y no representan una secuencia de pruebas idénticas.

“No es verdad pero lo creo”

De esta manera, de un malentendido lógico matemático nacen unos convencimientos claramente equivocados, y también se pueden encontrar personas que por causa de estos convencimientos perden un montón de tiempo y dinero: pensemos en todas las personas que piensan que existe la fórmula ganadora para desbancar la ruleta, la quiniela, y la lotería, apuestan un montón de dinero y gastan también dinero para pedir consejos a sedicentos “expertos”. Estas personas son realmente tan ingenuas que creen que la ruleta, por ejemplo, tiene memoria, y, cuando un número no sale hace mucho tiempo, hace que hacerlo salir? Si, y no, la impresión que tenemos es que a menudo la confianza en esta versión popular de la ley de los grandes números se haya en la misma raíz de muchas supersticiones del tipo “no es verdad pero lo creo”. Todas las personas que no atraviesan la calle después que la ha atravesada un gato negro, realmente creen que ese pobre gato negro transmita influjos maléficos que pueden arruinar las personas?

Alcune persone, a tutt'oggi, cambiano ancora strada quando vedono passare un gatto nero
Algunas personas, aún hoy día, cambian percurso cuando veen pasar un gato negro
Probablemente, a lo menos en la mayoría de los casos, no mucho, pero la calle no la atraviesan porque “nunca se sabe“, porque “una vez el primo de un amigo mio …” . Similarmente, cuando un jugador habitual de ruleta observa que han dado 130 giros sin que salga el número 13, número que en la cábala tiene un sentido particular, puede pensar “No, no es verdad, pero apuesto por el 13, nunca se sabe….“.  A menudo, el problema no esta solamente en la interpretación equivocada de la ley de los grandes números, sino, más en lo general, en la tendencia del hombre a ser irracional.

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Giulio Simeone

Pubblicato da Giulio Simeone

Giulio Simeone is a web journalist based in Rome, Italy. He graduated in Mathematical Sciences in 2002, then he worked several years as a software developer and later, around 2010, began to turn his efforts to journalism. Now he writes for the web magazines www.sociale.it and www.socialplace.it, that are published by the company he works for. He speaks fluent Italian, English, and Spanish, his e-mail address is [email protected]

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